Το άρθρο εκδόθηκε αρχικά στο 7ο τεύχος του “φ”, σελίδα 52.
Σουζάνα Παπαδοπούλου
Καθηγήτρια ,Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Κρήτης
(Ομιλία για την τελετή απονομής του βραβείου Ξανθόπουλου – Πνευματικού 11-12-2009)
Ευχαριστώ θερμά την επιτροπή για την ιδιαίτερα μεγάλη τιμή, που μου έκανε με το να με επιλέξει για αυτό το βραβείο. Αισθάνομαι όμως και ιδιαίτερη συγκίνηση, γιατί έζησα από αρκετά κοντά τα τραγικά γεγονότα, που συνέβησαν στο Πανεπιστήμιό μας πριν 19 χρόνια.
Η ομιλία μου αφορά τη μαθηματική εκπαίδευση διαφόρων μορφών: μαθηματική εκπαίδευση στα πλαίσια της εγκύκλιας παιδείας, πανεπιστημιακή εκπαίδευση των μαθηματικών, εκπαίδευση άλλων επιστημόνων στα Μαθηματικά.
Στόχος κάθε εκπαίδευσης δεν πρέπει να είναι η συσσώρευση γνώσεων, αλλά η κατανόηση εννοιών, σχέσεων, φαινομένων και η απόκτηση δεξιοτήτων. Στο πλαίσιο αυτό θα αναφερθώ στους κύριους κατά τη γνώμη μου στόχους της μαθηματικής εκπαίδευσης.
Ένας από αυτούς είναι η ικανότητα χειρισμού των ποσοτήτων. Οι ποσότητες εκφράζονται με αριθμούς. Νομίζω ότι δεν χρειάζεται να επιχειρηματολογήσω για τον κεντρικό ρόλο, που παίζουν οι αριθμοί στην καθημερινή ζωή, στην επιστήμη, στην τεχνολογία, αλλά και στην τέχνη και την φιλοσοφία. Ας θυμηθούμε το στίχο του Αισχύλου από την τραγωδία “Προμηθεύς δεσμώτης”, εκεί που ο Προμηθέας καρφωμένος στο βράχο απαριθμεί τα αγαθά που έχει χαρίσει στους ανθρώπους. Σε ένα σημείο αναφέρει: “και μην αριθμόν, έξοχον σοφισμάτων, εξηύρον αυτοίς γραμμάτων τε συνθέσεις”. (Σε μετάφραση Γρυπάρη: Κι εγώ τον αριθμό, την πιο τρανή σοφία, και των γραμμάτων τα συνθέματα τους βρήκα.)
Η ικανότητα χειρισμού των αριθμών, που πρέπει να αποκτήσει ο μαθητής ή ο φοιτητής, έχει δύο συνιστώσες: την ικανότητα υπολογισμών με αριθμούς, αλλά και την ικανότητα διατύπωσης ενός προβλήματος στη γλώσσα των αριθμών. Αυτό το τελευταίο έχει διάφορα επίπεδα πολυπλοκότητας. Εκτείνεται από την αντιμετώπιση προβλημάτων πρακτικής αριθμητικής, που μαθαίνει κανείς στο σχολείο, μέχρι π.χ. την περιγραφή ενός σύνθετου προβλήματος φυσικής, βιολογίας ή οικονομίας μέσω ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων (δηλαδή ενός συστήματος σχέσεων μεταξύ των διαφόρων ποσοτήτων, που υπεισέρχονται σε ένα πρόβλημα, και των ρυθμών, με τους οποίους αυτές μεταβάλλονται). Ας μου επιτραπεί να αναφέρω ότι κατά τη γνώμη μου στα Τμήματα Μαθηματικών της χώρας μας η εκπαίδευση των φοιτητών μας σε αυτό το θέμα, στη μαθηματική μοντελοποίηση, συνήθως δεν είναι επαρκής. Θα πρέπει να ενισχυθεί ώστε οι απόφοιτοί μας να είναι αποδοτικότεροι στην εφαρμογή των μαθηματικών τους γνώσεων κατά την επαγγελματική τους ενασχόληση.
Ας δούμε όμως τι είναι οι αριθμοί. Θα προσπαθήσω να δείξω κάποιες πλευρές της σημασίας των αριθμών, η οποία δεν είναι μόνο χρηστική, αλλά και αισθητική και φιλοσοφική.
Υπάρχουν διάφορες κατηγορίες αριθμών. Κατ’ αρχήν οι λεγόμενοι φυσικοί αριθμοί, οι 1, 2, 3 κ.λ.π. Με αυτούς μετράμε το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου, που μπορεί να είναι το πλήθος των ατόμων σε αυτή την αίθουσα (ένας τριψήφιος αριθμός) ή το πλήθος των άστρων του γαλαξία μας (περίπου 100 δισεκατομμύρια). Υπάρχουν όμως και άλλοι αριθμοί. (Δεν θα μιλήσω για τους αρνητικούς.) Υπάρχουν π.χ. τα κλάσματα, όπως 1/3 ή 12/5. Υπάρχουν όμως και αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν ως κλάσματα με ακέραιους όρους. Αποδεικνύεται π. χ. ότι ο αριθμός δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα.
Υπάρχουν όμως και πολυπλοκότεροι αριθμοί. Για να βρούμε το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου ή το εμβαδόν του χρησιμοποιούμε τον αριθμό π. Ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα, αλλά ούτε με χρήση άλλων πράξεων επί ακεραίων (όπως π. χ. ως τετραγωνική ρίζα ακεραίου). Λέμε συνήθως ότι ο αριθμός π είναι ίσος με 3,14. Αυτό όμως είναι μόνο μια προσέγγιση του π. Για να δώσουμε την ακριβή τιμή του, θα πρέπει μετά την υποδιαστολή να γράψουμε άπειρα δεκαδικά ψηφία. Αν σταματήσουμε κάπου, έχουμε μια πολύ καλή προσέγγιση του π, αλλά όχι την ακριβή τιμή του. Έχουν βρεθεί με χρήση υπολογιστή ένα τρισεκατομμύριο ψηφία του π. Ο Νικόλαος Χατζηδάκης, καθηγητής του Πανεπιστημίου Αθηνών στις αρχές του 20ού αιώνα, είχε συντάξει το παρακάτω κείμενο ως μνημονικό κανόνα για τα πρώτα 22 δεκαδικά ψηφία του π: “Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον και ον φευ ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι.” Το πλήθος των γραμμάτων κάθε μιας από τις λέξεις δίνει διαδοχικά τα ψηφία του π.
Δεν έχει ιδιαίτερη σημασία να γνωρίζουμε όσο το δυνατόν περισσότερα ψηφία του π. Πολύ ενδιαφέρον είναι όμως το γεγονός ότι ο αριθμός αυτός, του οποίου δεν μπορούμε να γράψουμε την ακριβή τιμή, περιγράφει μια ακριβή σχέση μεταξύ δύο γεωμετρικών μεγεθών, της διαμέτρου και της περιφέρειας ενός κύκλου. Πιο εντυπωσιακό είναι όμως το εξής: Ο αριθμός π εμφανίζεται και σε πολλά άλλα προβλήματα, που φαινομενικά δεν σχετίζονται με τον κύκλο. Π. χ. είναι γνωστό σε όσους ασχολούνται με τη Στατιστική ότι το π υπεισέρχεται στον υπολογισμό πιθανοτήτων, που αφορούν την κανονική κατανομή.
Οι φυσικοί αριθμοί λοιπόν είναι πολύ απλούστεροι από άλλους αριθμούς. Θα μπορούσε κανείς να νομίσει ότι δεν υπάρχουν ενδιαφέροντα προβλήματα σχετικά με τους φυσικούς αριθμούς. Αυτό δεν αληθεύει. Ο κλάδος των Μαθηματικών, που μελετά τους φυσικούς αριθμούς και έχει το όνομα Θεωρία Αριθμών, χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι έχει πολλά προβλήματα, πολύ απλά στη διατύπωσή τους, αλλά πολύ δύσκολα στη λύση τους. Θεωρώ ότι η γνωριμία με τέτοια προβλήματα έχει ιδιαίτερη παιδευτική αξία.
Ένα διάσημο τέτοιο πρόβλημα είναι το αναφερόμενο ως “τελευταίο θεώρημα του Fermat”. Η διατύπωσή του μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητή και από μη μαθηματικούς. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα υπάρχει η εξής σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Αν πάρουμε τα μήκη των δύο καθέτων πλευρών, τα υψώσουμε στο τετράγωνο και προσθέσουμε αυτά τα δύο τετράγωνα, το άθροισμα, που βρίσκουμε είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας. Αν π.χ. τα μήκη των δύο καθέτων πλευρών είναι αντίστοιχα 3 και 4, το μήκος της υποτείνουσας είναι 5 ( 9+16 = 25). Δηλαδή, οι φυσικοί αριθμοί 3, 4, 5 ικανοποιούν τη σχέση
32 + 42 = 52. Υπάρχουν άπειρες τέτοιες τριάδες φυσικών αριθμών, οι οποίες ονομάζονται Πυθαγόρειες τριάδες. Τίθεται το εξής πρόβλημα: Υπάρχουν τριάδες φυσικών αριθμών, που ικανοποιούν μιά ανάλογη σχέση, στην οποία αντί των τετραγώνων εμφανίζονται άλλες δυνάμεις; Π.χ. υπάρχουν φυσικοί αριθμοί α, β, γ για τους οποίους ισχύει α3 + β 3 = γ 3 ; Ο Fermat, Γάλλος μαθηματικός του 17ου αιώνα, πίστεψε ότι βρήκε μια απόδειξη ότι αυτό δεν γίνεται. Σημείωσε στο περιθώριο ενός βιβλίου: “Έχω βρει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη, αλλά αυτό το περιθώριο είναι πολύ μικρό για να τη χωρέσει.” Επί 3,5 αιώνες πολλοί μαθηματικοί προσπάθησαν να αποδείξουν αυτό, που ο Fermat ισχυρίσθηκε ότι απέδειξε, έως το 1994, οπότε ένας Βρετανός μαθηματικός, ο Andrew Wiles, έδωσε πράγματι μια απόδειξη.
Τίθεται βέβαια το ερώτημα: Γιατί έχει σημασία να ξέρουμε αν υπάρχουν τέτοιες τριάδες; Εδώ θα μπορούσαμε κατ’ αρχήν να δώσουμε την απάντηση, που έδωσε ο Ευκλείδης σε ένα μαθητή του, όπως αναφέρεται στο Ανθολόγιον του Στοβαίου. (Πρόκειται για συγγραφέα του 5ου μ. Χ. αιώνα, που συνέταξε μια συλλογή από 500 αποσπάσματα φιλοσόφων και ποιητών.) Παραθέτω το σχετικό κείμενο σε μετάφραση: “Κάποιος άρχισε να μαθαίνει γεωμετρία με τον Ευκλείδη και, όταν έμαθε το πρώτο θεώρημα, ρώτησε τον Ευκλείδη: Τι κέρδισα, που το έμαθα αυτό; Και ο Ευκλείδης κάλεσε το δούλο και του είπε: Δώσε του ένα τριώβολον, αφού πρέπει να κερδίζει κάτι από αυτά, που μαθαίνει.” Είναι πολύ σημαντικό στοιχείο κάθε εκπαίδευσης η καλλιέργεια της εκτίμησης της γνώσης καθ’ εαυτήν. Όμως η αξία της απόδειξης του τελευταίου θεωρήματος του Fermat δεν έγκειται μόνο στο ότι έδωσε την απάντηση στο ερώτημα, που είχε τεθεί. Η έρευνα, που οδήγησε στην απόδειξη, έφερε και την ανάπτυξη σημαντικότατων θεωριών και εργαλείων στη Θεωρία Αριθμών.
Είναι εύκολο (και από αυτά που είπαμε εδώ) να νομίσει κανείς ότι η Θεωρία Αριθμών έχει μόνο θεωρητικό ενδιαφέρον εντός των Μαθηματικών. Αυτό δεν αληθεύει. Έχει βρει πολλές εφαρμογές, π.χ. στην Κρυπτογραφία, τον κλάδο που ασχολείται με την κρυπτογράφηση και την αποκρυπτογράφηση διαφόρων πληροφοριών. Το κίνητρο για την ανάπτυξη αυτού του κλάδου, όπως δυστυχώς συμβαίνει αρκετές φορές, έδωσαν οι πόλεμοι. Αναπτύχθηκε κυρίως κατά το δεύτερο παγκόσμιο πόλεμο, προκειμένου οι εμπόλεμες πλευρές να αποκρυπτογραφούν τους μυστικούς κώδικες των αντιπάλων τους. Σημαντική συμβολή είχε ο πολύ γνωστός και άτυχος Alan Turing, Βρετανός μαθηματικός και με κάποια έννοια πατέρας της Πληροφορικής. Σήμερα η κρυπτογραφία είναι απαραίτητη στην καθημερινή μας ζωή, αφού έχουν γενικευθεί τόσο πολύ οι αυτοματοποιημένες διαδικασίες (π.χ. ηλεκτρονικές πληρωμές), οι οποίες απαιτούν ανεπτυγμένα συστήματα ασφαλείας.
Οι φυσικοί αριθμοί, όπως είπαμε, δίνουν το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου. Αν όμως ρωτήσουμε ποιό είναι το πλήθος των φυσικών αριθμών, η απάντηση βέβαια είναι: άπειρο. Αν ρωτήσουμε ποιό είναι το πλήθος των σημείων μιας ευθείας, η απάντηση βέβαια είναι πάλι: άπειρο.
Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι, όσοι είναι οι φυσικοί αριθμοί, τόσα είναι και τα σημεία μιας ευθείας;
Ο Cantor, Γερμανός μαθηματικός του 19ου αιώνα, ανέπτυξε μια αριθμητική των απείρων, δηλαδή μια θεωρία, στην οποία υπάρχουν διάφορα άπειρα και συγκρίνονται μεταξύ τους με φυσιολογικό τρόπο. (Δεν είναι δυνατόν να πούμε εδώ πιο συγκεκριμένα πως γίνεται αυτό.) Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή το πλήθος των φυσικών αριθμών είναι μικρότερο από το πλήθος των σημείων μιας ευθείας, το οποίο όμως είναι το ίδιο με το πλήθος των σημείων ενός επιπέδου.
Η θεωρία αυτή είναι σημαντική εντός των Μαθηματικών, αλλά δεν έχει εφαρμογές σε άλλους κλάδους. Θα αναφέρω όμως κάτι σχετικά με αυτή τη θεωρία, το οποίο θεωρώ ότι έχει μεγάλη φιλοσοφική σημασία. Τέθηκε το εξής ερώτημα: Υπάρχει σύνολο, του οποίου το πλήθος είναι μεγαλύτερο από το πλήθος των φυσικών αριθμών και μικρότερο από το πλήθος των σημείων μιας ευθείας; Η “απάντηση” δόθηκε από τον Paul Cohen, Αμερικανό μαθηματικό, το 1963: Το ερώτημα αυτό δεν μπορεί να απαντηθεί. Δεν είναι δυνατόν να αποδειχθεί ότι υπάρχει τέτοιο σύνολο, ούτε να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει.
Ένας άλλος από τους κύριους στόχους της μαθηματικής εκπαίδευσης είναι η αντίληψη του χώρου. Νομίζω ότι ένα σοβαρό μειονέκτημα της διδασκαλίας των Μαθηματικών στη Μέση Εκπαίδευση στη χώρα μας (αλλά όχι μόνον) είναι η έλλειψη επαρκούς έμφασης στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Νομίζω ότι δεν έχει τη θέση, που θα έπρεπε να έχει. Μια σοβαρή έλλειψη σε αυτό το πλαίσιο είναι ότι διδάσκεται ελάχιστα η στερεομετρία, η γεωμετρία του τριδιάστατου χώρου. Τα προβλήματα της γεωμετρίας του επιπέδου είναι ευκολότερο να αντιμετωπισθούν, αφού μπορούν να σχεδιασθούν στο χαρτί. Για την αντιμετώπιση τριδιάστατων προβλημάτων χρειάζεται άσκηση της φαντασίας, η οποία δεν προσφέρεται επαρκώς στους νέους μας. Έχω δει π.χ. πόση δυσκολία έχουν φοιτητές μας να διαπιστώσουν ποιό στερεό σχηματίζεται όταν ένα τρίγωνο περιστραφεί γύρω από μια πλευρά του.
Δεν νομίζω ότι χρειάζεται να αναφερθώ διεξοδικά στη σημασία, που έχει η ικανότητα αντίληψης του χώρου σε διάφορες ανθρώπινες δραστηριότητες, όπως η τεχνολογία ή οι εικαστικές τέχνες. Οι μαθηματικοί όμως δεν περιορίζονται στις έννοιες, που βρίσκονται άμεσα μέσα στις εμπειρίες μας, αλλά επεκτείνονται πέρα από αυτές. Δημιουργούν διανοητικά οικοδομήματα, γενικότερα και πολυπλοκότερα από αυτά που συνδέονται άμεσα με τις εμπειρίες μας. Αυτά όμως, ενώ φαίνονται εντελώς θεωρητικά και αφηρημένα, έχουν συχνά συγκεκριμένες εφαρμογές.
Δεν περιορίζονται λοιπόν οι μαθηματικοί στη μελέτη του τριδιάστατου ευκλείδειου χώρου. Μελετούν π.χ. γενικότερους χώρους, οι οποίοι δεν περιγράφονται με ευθείες και επίπεδα, αλλά είναι κατά κάποιο τρόπο “καμπυλωμένοι”. Και οι φυσικοί βρίσκουν αυτούς τους χώρους ως το κατάλληλο μοντέλο για την περιγραφή του σύμπαντος στα πλαίσια της γενικής θεωρίας της σχετικότητας.
Επίσης, οι μαθηματικοί δεν εξετάζουν μόνον χώρους 2, 3 ή 4 διαστάσεων, αλλά χώρους οποιασδήποτε διάστασης. Αυτή η μελέτη δεν έχει μόνο θεωρητική σημασία. Αλλά και πρακτική. Όταν π.χ. σε ένα πρόβλημα υπεισέρχονται 10 παράμετροι, το πρόβλημα μπορεί να αναχθεί σε ένα πρόβλημα στο χώρο 10 διαστάσεων.
Ένα εντυπωσιακό γεγονός είναι το ότι μερικές φορές διάφορα γεωμετρικά προβλήματα λύνονται ευκολότερα στις μεγαλύτερες διαστάσεις παρά στις μικρότερες. ‘Ενα διάσημο τέτοιο πρόβλημα είναι η εικασία του Poincare (Γάλλος μαθηματικός, που έζησε στα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα). Θα δώσω μια (όχι πολύ ακριβή) περιγραφή αυτού του προβλήματος. Ας θεωρήσουμε ένα μπαλόνι, το οποίο να είναι αρκετά ελαστικό, ώστε να μπορούμε να του δίνουμε διάφορα σχήματα πιέζοντάς το ή εκτείνοντάς το σε διάφορα σημεία. Τότε, αν αυτό έχει τη μορφή σφαίρας, θα μπορούμε να του δώσουμε τη μορφή αυγού ή, λυγίζοντας το, να του δώσουμε τη μορφή μπανάνας. Αν όμως έχει τη μορφή σαμπρέλας, δεν μπορούμε να το φέρουμε σε μορφή μπάλας παρά μόνον αν το κόψουμε κάπου και το κολλήσουμε εκ νέου. Δύο μπαλόνια, τέτοια ώστε να μπορούμε να φέρουμε το ένα στη μορφή του άλλου χωρίς να κόψουμε ή να κολλήσουμε, ας τα λέμε ισοδύναμα. Η εικασία του Poincare αφορά μια συνθήκη, η οποία εξασφαλίζει ότι ένα μπαλόνι είναι ισοδύναμο με μια μπάλα. Για τα μπαλόνια, που βλέπουμε στο χώρο μας, δηλαδή τα διδιάστατα μπαλόνια, ήταν γνωστό από παλαιότερα ότι η συνθήκη αυτή είναι πράγματι ικανή για να είναι αυτά ισοδύναμα. Ο Poincare έθεσε το 1904 το ερώτημα αν το ανάλογο συμπέρασμα ισχύει για μεγαλύτερες διαστάσεις, δηλαδή για μπαλόνια διάστασης 3 (μέσα στον τετραδιάστατο χώρο) ή μεγαλύτερης. Το ερώτημα αυτό απαντήθηκε θετικά, αλλά πρώτα για τις μεγαλύτερες διαστάσεις και μετά για τις μικρότερες. Από το 1960 έως το 1985 δόθηκε απόδειξη διαδοχικά για διαστάσεις ≥7, ≥5, ≥4. Η περίπτωση των τριδιάστατων μπαλονιών αντιστεκόταν μέχρι το 2002, οπότε δόθηκε απόδειξη από ένα Ρώσο μαθηματικό, τον Grisha Perelman.
Είναι ενδιαφέρον το εξής περιστατικό σχετικά με αυτό το επίτευγμα του Perelman. Όπως είναι γνωστό, δεν υπάρχει βραβείο Nobel για τα Μαθηματικά. Μέγιστη διάκριση για την έρευνα στα Μαθηματικά (η μόνη μέχρι πριν μερικά χρόνια, τώρα έχει προστεθεί και το βραβείο Abel), είναι το μετάλλιο Fields, το οποίο απονέμεται κάθε 4 χρόνια σε μαθηματικούς κάτω των 40 ετών. Το 2006 προκάλεσε αίσθηση στη διεθνή μαθηματική κοινότητα το εξής γεγονός: Επελέγη για το βραβείο αυτό ο Perelman (για την απόδειξη της εικασίας του Poincare) και τρεις άλλοι μαθηματικοί. Ο Perelman δεν το απεδέχθη, πράγμα που συνέβη για πρώτη φορά στην ιστορία του βραβείου. Ανέφερε σε μιά δήλωσή του: “Το βραβείο δεν είχε καμιά αξία για μένα. Καθένας καταλαβαίνει ότι, αν η απόδειξη που έδωσα είναι σωστή, δεν χρειάζεται καμιά άλλη αναγνώριση.”
‘Ενας τρίτος στόχος της μαθηματικής εκπαίδευσης είναι η άσκηση στη λογική συνεπαγωγή, η καλλιέργεια της δεξιότητας να συνδυάζει κανείς δεδομένα, τα οποία γνωρίζει, και με λογική σκέψη να καταλήγει σε νέα συμπεράσματα. Στα Μαθηματικά είναι αναγκαία αυτή η μέθοδος γιατί τα μαθηματικά συμπεράσματα δεν είναι στατιστικά ή πειραματικά δεδομένα, αλλά ισχυρισμοί γενικοί και ακριβείς. Όταν π.χ. ισχυριζόμαστε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180
μοίρες, δεν εννοούμε ότι πήραμε ένα πολύ μεγάλο αριθμό τριγώνων, μετρήσαμε τις γωνίες τους, προσθέσαμε τα μέτρα τους και βρήκαμε πάντα άθροισμα 180. Αν είχαμε κάνει κάτι τέτοιο, δεν θα μπορούσαμε να είμαστε βέβαιοι ότι δεν μπορεί κάποιος να σχεδιάσει ένα τρίγωνο, στο οποίο αυτό να μην ισχύει. Ούτε θα μπορούσαμε να είμαστε βέβαιοι ότι το αποτέλεσμα των μετρήσεών μας ήταν ακριβώς 180 και όχι π.χ. 179,99. Όταν ισχυριζόμαστε το παραπάνω, εννοούμε ότι έχουμε μια λογική απόδειξη ότι για κάθε τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι ακριβώς 180 μοίρες.
Η ικανότητα της λογικής συνεπαγωγής φαίνεται ίσως ως κάτι αυτονόητο, για το οποίο δεν χρειάζεται εκπαίδευση. Δεν αληθεύει όμως αυτό. Πρόκειται βέβαια για μια έμφυτη ικανότητα του ανθρώπινου μυαλού. Χρειάζεται όμως καλλιέργεια και εξάσκηση. Η εμπειρία δείχνει ότι μαθητές και φοιτητές έχουν συχνά μεγάλες δυσκολίες στην ορθή και αποτελεσματική χρήση της. Εδώ είναι άλλο ένα σημείο, στο οποίο γίνεται φανερό το μειονέκτημα της έλλειψης έμφασης στη Ευκλείδεια Γεωμετρία στη μέση εκπαίδευση. Κατά τη γνώμη μου η Ευκλείδεια Γεωμετρία έχει τη σωστή αναλογία εποπτείας και αφαίρεσης προκειμένου ένα παιδί της ηλικίας του Λυκείου να ασκηθεί στην τέχνη της λογικής απόδειξης. Φανερά η δεξιότητα στη λογική συνεπαγωγή έχει μεγάλη χρησιμότητα στην καθημερινή ζωή και στις διάφορες ανθρώπινες δραστηριότητες. Αφού αυτή καλλιεργείται με την εκπαίδευση στα Μαθηματικά, νομίζω ότι θα ήταν χρήσιμο να συμπεριλαμβάνεται η διδασκαλία των Μαθηματικών και σε άλλα πανεπιστημιακά προγράμματα
πέραν αυτών, στα οποία ήδη υπάρχει, π.χ. στα προγράμματα Νομικής, Ψυχολογίας, Γλωσσολογίας.
Τελειώνοντας συνοψίζω επιγραμματικά τους κατά τη γνώμη μου κύριους στόχους της μαθηματικής εκπαίδευσης:
- Κατανόηση των εννοιών και των μαθηματικών συμπερασμάτων με έμφαση όχι μόνο στη χρηστική αξία τους, αλλά και στην αισθητική και φιλοσοφική αξία τους.
- Σύνδεση των Μαθηματικών με τις άλλες επιστήμες (όχι μόνον θετικές, επιστήμες του μηχανικού, οικονομικές).
- Καλλιέργεια της λογικής σκέψης.
Αυτοί οι στόχοι δεν επιτυγχάνονται με παθητική παρακολούθηση διδασκαλίας, αλλά με ενεργό συμμετοχή και προσωπική άσκηση.
Ανέφερα διάφορα ελλείμματα στη μαθηματική εκπαίδευση στη χώρα μας. Νομίζω ότι χρειάζεται βελτίωση σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης. Όμως παρ’ όλα τα ελλείμματα, μεταξύ των αποφοίτων των ελληνικών πανεπιστημίων υπάρχει ένας αριθμός λαμπρών επιστημόνων, που εξελίσσονται σε ιδιαίτερα ανεγνωρισμένους διεθνώς ερευνητές στα Μαθηματικά. Τελειώνω με την ευχή η πολιτεία να παρέχει στους νέους ερευνητές την απαιτούμενη ενίσχυση, ώστε να παραμένουν στη χώρα μας, για την οποία αποτελούν σημαντικότατο κεφάλαιο.